Lernratgeber · Mathematik
Lineare Gleichungen lösen – jeden Schritt begründen.
Eine Gleichung fordert, dass beide Seiten denselben Wert haben. Beim Lösen verändern Sie sie so, dass diese Gleichheit und die Lösungsmenge erhalten bleiben. Auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchzuführen ist nachvollziehbarer als ein bloßer Vorzeichen-Merksatz. Hier lösen wir lineare Gleichungen mit einer Unbekannten im Definitionsbereich der reellen Zahlen.
Sie können Klammern auflösen, jeden Umformungsschritt erklären und das Ergebnis in der Ausgangsgleichung prüfen. Sie erkennen auch, wann keine oder alle reellen Zahlen eine Gleichung erfüllen.
1. Was bei einer Umformung erhalten bleiben muss
Die linke und die rechte Seite sind Terme. Eine Lösung ist ein zugelassener Wert für x, bei dem beide Terme gleich sind. In den Beispielen dieser Seite gilt D = ℝ: x darf jede reelle Zahl sein.
Wir betrachten Gleichungen, die sich durch Vereinfachen auf ax + b = cx + d bringen lassen. x², trigonometrische Funktionen und Gleichungssysteme sind hier nicht Gegenstand. Auch bei den entstehenden Sonderfällen bleibt der festgelegte Definitionsbereich wichtig.
- Addieren und subtrahieren
Auf beiden Seiten denselben Term addieren oder subtrahieren. Zum Beispiel entfernt −2x auf beiden Seiten den Term 2x rechts.
- Multiplizieren und dividieren
Eine Multiplikation oder Division mit derselben bekannten Zahl ungleich 0 erhält die Lösungsmenge. Durch 0 darf man nicht teilen; Multiplikation mit 0 wäre keine umkehrbare Äquivalenzumformung.
- Nicht unbemerkt Lösungen verlieren
Durch einen Term mit x zu teilen erfordert zu prüfen, ob er null sein kann. Bei unseren linearen Aufgaben isolieren wir x durch Division durch einen bekannten Koeffizienten ungleich 0.
- Terme vereinfachen
Klammern werden mit dem Distributivgesetz aufgelöst und gleichartige Terme zusammengefasst. Das vereinfacht einen Term, ohne seinen Wert zu ändern.
2. Eigene Kernaufgabe: 4(x − 2) = 2x + 10
Schritt für Schritt, mit D = ℝ
- Klammer auflösen
Die 4 multipliziert beide Summanden in der Klammer.
4x − 8 = 2x + 10
- Unbekannte sammeln
Auf beiden Seiten 2x subtrahieren. Die Gleichheit bleibt erhalten.
2x − 8 = 10
- Konstante entfernen
Auf beiden Seiten 8 addieren.
2x = 18
- Variable isolieren
Beide Seiten durch die bekannte Zahl 2 teilen; 2 ist nicht 0.
x = 9
- In der Ausgangsgleichung prüfen
Links: 4(9 − 2) = 4 · 7 = 28. Rechts: 2 · 9 + 10 = 28. Beide Seiten stimmen überein.
L = {9}
Die Probe wird in der ursprünglichen Gleichung durchgeführt. So kann sie einen Fehler beim Ausmultiplizieren aufdecken, der in einer späteren Zeile unsichtbar wäre.
3. Ein Klammerfehler verändert die Aufgabe
Fehlerversuch: 4(x − 2) = 4x − 2. Hier wurde nur x mit 4 multipliziert. Korrekt ist 4 · x − 4 · 2 = 4x − 8.
Eine einfache Wertprobe zeigt den Unterschied: Für x = 3 ist 4(3 − 2) = 4. Der falsche Term 4 · 3 − 2 ergibt 10, der richtige Term 4 · 3 − 8 dagegen 4. Solche Prüfwerte helfen beim Erkennen eines Termfehlers; sie ersetzen nicht die spätere Lösung der Gleichung.
- Fehler fortgeführt
Aus 4x − 2 = 2x + 10 ergäbe sich x = 6. Doch in der Ausgangsgleichung stehen dann links 16 und rechts 22. x = 6 ist keine Lösung.
- Gezielt korrigieren
Gehen Sie zur ersten falschen Zeile zurück. Korrigieren Sie die Klammer und führen Sie von dort die zulässigen Umformungen aus. Ein späterer Vorzeichenwechsel repariert die falsche Gleichung nicht.
4. Nicht jede Gleichung hat genau eine Lösung
Keine Lösung: 2x + 3 = 2x + 5
- x-Terme entfernen
Auf beiden Seiten 2x subtrahieren.
3 = 5
- Einordnen
Die falsche Aussage kann für keinen reellen Wert von x wahr werden. Die Ausgangsgleichung verlangt gleichzeitig gleiche x-Anteile und unterschiedliche Zusatzwerte.
L = ∅
Alle reellen Zahlen: 2(x + 1) = 2x + 2
- Vereinfachen
Links ergibt das Ausmultiplizieren 2x + 2. Beide Seiten sind derselbe Term.
2x + 2 = 2x + 2
- Einordnen
Nach Subtraktion von 2x + 2 steht 0 = 0. Jeder reelle Wert erfüllt die Ausgangsgleichung; im festgelegten Bereich gilt L = ℝ. Das bedeutet nicht, dass beliebige andere Aufgaben automatisch denselben Definitionsbereich haben.
5. Eine neue Gleichung selbst lösen
Schreiben Sie rechts neben jede Zeile, was Sie auf beiden Seiten tun. Halten Sie Lösung und Lösungsmenge auseinander: Ein Rechenschritt liefert eine Zahl; die Prüfung zeigt, ob diese Zahl die Ausgangsgleichung erfüllt.
Von einem Aufgabentext zu einer begründeten Rechnung
Jetzt selbst versuchen
Lösen Sie 3(x + 2) = x + 14 für D = ℝ. Erklären Sie jede Umformung und prüfen Sie Ihre Lösung in der Ausgangsgleichung. Zusatz: Welche Lösungsmenge hat 5x − 1 = 5x − 1?
Lösung und Begründung ansehen
3x + 6 = x + 14. Auf beiden Seiten x subtrahieren: 2x + 6 = 14. Auf beiden Seiten 6 subtrahieren: 2x = 8. Durch 2 teilen: x = 4.
Probe: links 3(4 + 2) = 18, rechts 4 + 14 = 18. Die Lösungsmenge ist L = {4}. Wenn Sie eine andere Zahl erhalten, vergleichen Sie zuerst die Klammerzeile und dann die Operationen auf beiden Seiten.
Zusatz: Beide Terme sind für jedes reelle x gleich. Nach Subtraktion von 5x − 1 auf beiden Seiten entsteht 0 = 0. Daher gilt im vereinbarten Definitionsbereich L = ℝ.
Kontrolle vor dem Abgeben
- Habe ich den Definitionsbereich benannt?
- Wirkt ein Faktor auf die ganze Klammer?
- Führe ich dieselbe zulässige Operation auf beiden Seiten aus?
- Teile ich nur durch eine Zahl ungleich 0?
- Prüfe ich die Ausgangsgleichung statt nur die letzte Zeile?
Häufige Lernfragen
Warum reicht „rüberbringen“ als Erklärung nicht aus?
Es verdeckt, dass auf beiden Seiten dieselbe Operation stattfindet. Beim Entfernen von +5 wird beispielsweise auf beiden Seiten 5 subtrahiert. So lässt sich prüfen, ob der Schritt tatsächlich die Lösungsmenge erhält.
Beweist eine richtige Probe, dass ich alle Lösungen gefunden habe?
Die Probe bestätigt zunächst, dass der eingesetzte Wert eine Lösung ist. Dass keine weiteren Lösungen verloren gingen, folgt hier aus den umkehrbaren zulässigen Umformungen. Bei anderen Verfahren müssen ausgeschlossene Werte und mögliche weitere Lösungen zusätzlich geprüft werden.
Was bedeutet 0 = 0 am Ende?
In unseren Gleichungen ohne zusätzliche Einschränkungen bedeutet die Identität, dass jeder Wert des vereinbarten Definitionsbereichs die Gleichung erfüllt. Eine Aussage wie 0 = 2 ist dagegen falsch und zeigt eine leere Lösungsmenge.
