Lernratgeber · Mathematik
Sachaufgaben lösen: den Weg aus dem Text entwickeln
Alle Zahlen stehen im Text – aber welche Rechnung passt? Vier eigene Aufgaben zeigen, wie Sie Informationen sortieren, eine Skizze oder Beziehung wählen und das Ergebnis prüfen. Die Beispiele behandeln Fläche, Mischungsverhältnis, Geschwindigkeit und eine Anzahl, bei der Aufrunden nötig ist.
Sie können erklären, warum Ihre Rechnung zur Frage passt, Einheiten sinnvoll verwenden und prüfen, ob das Ergebnis im beschriebenen Zusammenhang möglich ist.
1. Erst die Frage verstehen, dann rechnen
Lesen Sie die Aufgabe einmal vollständig, ohne sofort eine Rechenart zu wählen. Formulieren Sie die Frage in eigenen Worten. Beim zweiten Lesen ordnen Sie jeder Zahl eine Bedeutung und eine Einheit zu. Manche Informationen beschreiben nur den Rahmen; nicht jede Zahl muss in der Rechnung vorkommen.
Eine Skizze, Tabelle oder kurze Rechnungskette verbindet die Angaben mit dem Gesuchten. Begründen Sie den Ansatz in einem Satz, bevor Sie rechnen. Wörter wie mehr, insgesamt oder pro sind Hinweise, aber keine zuverlässigen Befehle für eine bestimmte Rechenart.
- Gegeben
Welche Größen sind bekannt? Schreiben Sie zum Beispiel Länge 8 m statt nur 8. Klären Sie auch Bedingungen wie gleich groß, gleichmäßig oder vollständig.
- Gesucht
Welche Größe beantwortet die Frage? Eine Länge, eine Fläche, eine Zeit und eine Anzahl erfordern unterschiedliche Ansätze.
- Ansatz
Welche Beziehung verbindet die Größen? Erklären Sie sie zunächst in Worten. Eine passende Skizze kann verhindern, dass Sie Fläche und Umfang verwechseln.
- Prüfung
Überschlagen Sie vor oder nach der genauen Rechnung. Der Antwortsatz muss die Frage beantworten, die Einheit nennen und zur beschriebenen Situation passen.
2. Fläche: Was bleibt im Schulgarten übrig?
Eigene Aufgabe A · Fläche und Umfang unterscheiden
Aufgabentext
Ein rechteckiger Schulgarten ist 8 m lang und 5 m breit. Innerhalb des Gartens liegt ein rechteckiges Kräuterbeet von 3 m Länge und 2 m Breite. Vor dem Garten stehen 2 Bänke. Der übrige Teil des Gartens soll mit Rasen bedeckt werden. Wie groß ist die Rasenfläche?
- Gegeben
Garten: 8 m × 5 m. Kräuterbeet: 3 m × 2 m. Das Beet liegt vollständig im Garten. Die 2 Bänke stehen außerhalb und verändern die Rasenfläche nicht; diese Zahl wird für die Rechnung nicht gebraucht.
- Gesucht
Die Rasenfläche in Quadratmetern. Eine Zaunlänge wäre eine andere Frage und würde den Umfang betreffen.
- Ansatz
Zeichnen Sie ein großes Rechteck und darin ein kleineres. Von der gesamten Gartenfläche wird die Beetfläche abgezogen: Rasenfläche = Gartenfläche − Beetfläche.
- Rechenweg
Garten: 8 m × 5 m = 40 m². Beet: 3 m × 2 m = 6 m². Übrig: 40 m² − 6 m² = 34 m².
(8 × 5) − (3 × 2) = 34
- Einheit und Antwort
Der Rasen bedeckt 34 m². Beim Multiplizieren zweier Längen entsteht eine Fläche; deshalb steht am Ende m² statt m.
- Plausibilität
Die Rasenfläche muss kleiner als 40 m² und größer als 0 m² sein. Das Beet ist deutlich kleiner als der Garten; 34 m² passt dazu. Eine Antwort von 46 m² würde das Beet fälschlich hinzuaddieren.
Der Zusammenhang entscheidet: Bei der übrigen Fläche werden Flächen abgezogen. Die Rechnung 8 + 5 − 3 − 2 verwendet zwar alle Zahlen, bildet aber keine Flächen ab.
3. Verhältnis: Saft und Wasser richtig aufteilen
Eigene Aufgabe B · Teilmenge und Gesamtmenge
Aufgabentext
Für ein Getränk werden 1 Teil Saft und 4 Teile Wasser gemischt. Insgesamt sollen 2,5 Liter Getränk entstehen. Wie viel Saft und wie viel Wasser werden benötigt?
- Gegeben
Das Verhältnis Saft : Wasser ist 1 : 4. Die Gesamtmenge beträgt 2,5 l. Alle Teile sind gleich groß.
- Gesucht
Die beiden Teilmengen Saft und Wasser, jeweils in Litern. Die 2,5 l bezeichnen das ganze Getränk, nicht nur das Wasser.
- Ansatz
Eine Skizze aus fünf gleich großen Kästchen hilft: eines für Saft, vier für Wasser. Zuerst die Größe eines Teils bestimmen; dann die Wasserteile zusammennehmen.
- Rechenweg
1 + 4 = 5 Teile. Ein Teil: 2,5 l ÷ 5 = 0,5 l. Saft: 1 × 0,5 l = 0,5 l. Wasser: 4 × 0,5 l = 2 l.
0,5 l Saft + 2 l Wasser = 2,5 l Getränk
- Einheit und Antwort
Benötigt werden 0,5 l Saft und 2 l Wasser. In Millilitern sind das 500 ml und 2.000 ml; 1 l entspricht 1.000 ml.
- Plausibilität
Das Wasser ist viermal so viel wie der Saft. Zusammen ergeben die Teilmengen genau 2,5 l. Beide Bedingungen müssen stimmen; nur die richtige Summe reicht nicht.
Häufiger Fehler: durch 4 teilen, weil im Text vier Teile Wasser stehen. Das ganze Getränk besteht jedoch aus fünf Teilen. Schreiben Sie deshalb vor dem Teilen die Anzahl aller Teile auf.
4. Geschwindigkeit: Minuten vor dem Rechnen umwandeln
Eigene Aufgabe C · Zeit, Strecke und Geschwindigkeit
Aufgabentext
Ein Fahrrad fährt auf einer 6 km langen Strecke gleichmäßig mit 12 km/h. Danach steht es 10 Minuten an einem Treffpunkt. Wie viele Minuten vergehen vom Start bis zum Ende der Pause?
- Gegeben
Strecke: 6 km. Geschwindigkeit während der Fahrt: 12 km/h. Pause nach der Fahrt: 10 min. Für das Beispiel werden ein gleichmäßiges Tempo und keine weiteren Stopps angenommen.
- Gesucht
Die gesamte Zeit aus Fahrt und Pause in Minuten. Die Pausenzeit gehört dazu, obwohl das Fahrrad dabei keine Strecke zurücklegt.
- Ansatz
Zeit = Strecke ÷ Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit pro Stunde angegeben ist, liefert diese Rechnung zunächst Stunden. Erst danach in Minuten umrechnen und die Pause addieren.
- Rechenweg
Fahrt: 6 km ÷ 12 km/h = 0,5 h. Umrechnung: 0,5 × 60 min = 30 min. Mit Pause: 30 min + 10 min = 40 min.
6 ÷ 12 = 0,5 h → 30 min → 40 min mit Pause
- Einheit und Antwort
Vom Start bis zum Ende der Pause vergehen 40 Minuten. 0,5 h sind eine halbe Stunde und damit 30 Minuten, nicht 50 Minuten.
- Plausibilität
Bei 12 km in einer Stunde sind 6 km in einer halben Stunde erreichbar. Mit einer zusätzlichen Pause muss die Gesamtzeit größer als 30 Minuten sein. 40 Minuten erfüllen beide Prüfungen.
Addieren Sie keine verschiedenartigen Einheiten: 0,5 + 10 ist hier kein sinnvoller Ansatz. Erst Stunden in Minuten umwandeln, dann Zeiten zusammenrechnen.
5. Anzahl: Warum manchmal aufgerundet werden muss
Eigene Aufgabe D · Ein rechnerisches Ergebnis im Kontext prüfen
Aufgabentext
67 Personen sollen gleichzeitig zu einer Veranstaltung fahren. In einen Kleinbus passen jeweils 8 Personen. Alle Personen müssen einen Platz erhalten. Wie viele Kleinbusse werden mindestens gebraucht?
- Gegeben
67 Personen, 8 Plätze je Kleinbus. Alle fahren gleichzeitig; mehrere Fahrten desselben Busses sind nicht vorgesehen.
- Gesucht
Die kleinste ganze Anzahl von Kleinbussen, deren Plätze für alle Personen ausreichen.
- Ansatz
Die Personenzahl durch die Plätze pro Bus teilen. Prüfen Sie den Rest: Auch für die übrigen Personen wird ein weiterer vollständiger Bus gebraucht.
- Rechenweg
67 ÷ 8 = 8 Rest 3 beziehungsweise 8,375. Acht Busse bieten 8 × 8 = 64 Plätze. Die drei übrigen Personen brauchen einen neunten Bus.
8 Busse: 64 Plätze · 9 Busse: 72 Plätze
- Einheit und Antwort
Es werden mindestens 9 Kleinbusse benötigt. Eine Antwort von 8,375 Bussen ist für die Bestellung nicht möglich.
- Plausibilität
9 × 8 = 72 reicht für 67 Personen. Ein Bus weniger bietet nur 64 Plätze und reicht nicht. So wird auch das Wort mindestens überprüft.
Hier wird wegen des Restes aufgerundet. Das ist keine allgemeine Rundungsregel für jede Sachaufgabe: Würden 67 Gegenstände in vollständige Achterpakete gepackt, wäre die Zahl voller Pakete nur 8.
6. Den eigenen Ansatz kontrollieren und weiterüben
Wenn ein Ergebnis nicht plausibel ist, suchen Sie die erste unklare Stelle: Wurde die Frage falsch gelesen, passt die Beziehung nicht, ist eine Einheit vermischt oder liegt ein Rechenfehler vor? Verbessern Sie diese Stelle und rechnen Sie von dort weiter. Das ist hilfreicher, als denselben Ansatz einfach noch einmal einzugeben.
Jetzt selbst versuchen
Eigene Übung: Ein rechteckiger Raum ist 6 m lang und 4 m breit. Ein Teppich bedeckt 2 m × 3 m. Wie viel Bodenfläche bleibt frei? Schreiben Sie Gegeben, Gesucht, Ansatz und einen Antwortsatz. Prüfen Sie erst danach die Lösung.
Lösung und Begründung ansehen
Gegeben: Raum 6 m × 4 m, Teppich 2 m × 3 m, Teppich vollständig im Raum. Gesucht: freie Fläche in m². Ansatz: Raumfläche − Teppichfläche.
6 × 4 = 24 m²; 2 × 3 = 6 m²; 24 − 6 = 18 m². Es bleiben 18 m² frei. Prüfung: 18 + 6 = 24; die freie Fläche ist kleiner als die gesamte Raumfläche.
Wenn Sie 20 m erhalten haben, prüfen Sie, ob Sie einen Umfang statt einer Fläche berechnet haben. Wenn nur 18 ohne Einheit steht, ergänzen Sie die Größe im Antwortsatz.
Kontrolle vor dem Abgeben
- Kann ich die Frage in eigenen Worten erklären?
- Hat jede verwendete Zahl eine Bedeutung und Einheit?
- Kann ich meinen Ansatz mit einer Skizze oder Beziehung begründen?
- Habe ich Einheiten vor dem Addieren vereinheitlicht?
- Passt die Antwort zur Frage und zu einem groben Überschlag?
- Braucht das Ergebnis im Kontext eine ganze Anzahl?
