Lernratgeber · Mathematik
Prozentrechnung verstehen: Welche Größe ist gesucht?
Prozent bedeutet Hundertstel: 20 Prozent sind 20 von 100 gleich großen Anteilen. Eine Prozentangabe ist erst eindeutig, wenn klar ist, worauf sie sich bezieht. Bestimmen Sie deshalb zuerst das Ganze, dann den Anteil und die gesuchte Größe. An einem fiktiven Rucksack rechnen wir rückwärts und prüfen einen typischen Fehlerversuch.
Sie können die Bezugsgröße benennen, die drei Größen auseinanderhalten und eine Prozentrechnung mit einer Probe begründen. Eigene Übungen zeigen, ob der Ansatz auch bei einer anderen Frage passt.
1. Das Ganze und den Anteil unterscheiden
100 % bezeichnen das Ganze in der betrachteten Situation. Wenn in einer fiktiven Klasse 8 von 32 Schülern mit dem Fahrrad kommen, sind 32 der Grundwert und 8 der Prozentwert. Der Anteil beträgt 8 / 32 = 0,25, also 25 %.
Die gleiche Zahl kann in einer anderen Frage eine andere Rolle haben: Fragen Sie nach dem Anteil dieser 8 innerhalb einer Gruppe von 16, ändert sich die Bezugsgröße. Entscheidend ist die Aufgabenstellung, nicht das Aussehen der Zahl.
- Beziehung
W = G · p / 100. Hier ist p die Prozentzahl, beispielsweise 25; p / 100 ist dann 0,25. G und W haben dieselbe Einheit.
- W gesucht
Sind G und p bekannt, berechnen Sie den Anteil: W = G · p / 100.
- p gesucht
Bei einem positiven Grundwert: p = W / G · 100. Nennen Sie die Bezugsgröße vor dem Teilen.
- G gesucht
Bei einem von null verschiedenen Prozentsatz: G = W / (p / 100). Aus einem Anteil von 0 % allein lässt sich das Ganze nicht bestimmen.
| Größe | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Grundwert G | Das Ganze: 100 % | 32 Schüler |
| Prozentwert W | Der betrachtete Anteil | 8 Schüler |
| Prozentsatz p | Anteil in Prozent | 25 % |
2. Eigene Aufgabe: den ursprünglichen Preis finden
Die folgende Preisangabe ist ausdrücklich fiktives Übungsmaterial und kein Angebot von Gauss: Ein Rucksack kostet nach 20 % Rabatt 72 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?
Die 20 % Rabatt beziehen sich auf den Preis vor der Verringerung. Bezahlt werden die übrigen 80 %. Deshalb sind 72 € hier nicht 100 %, sondern 80 % des gesuchten ursprünglichen Preises.
Vom verbliebenen Anteil zum Grundwert
- Zuordnen
G ist der ursprüngliche Preis. W = 72 € ist der verbliebene Anteil. Der zu W passende Prozentsatz beträgt 80 %, nicht 20 %.
- Ansatz
72 € = G · 0,8. Teilen Sie durch 0,8, um G zu erhalten.
G = 72 € / 0,8 = 90 €
- Probe
20 % von 90 € sind 18 €. Nach Abzug bleiben 72 €. Auch die direkte Probe stimmt: 90 € × 0,8 = 72 €.
- Antwort
Der ursprüngliche Preis betrug 90 €. Er muss höher als 72 € sein, weil ein Rabatt abgezogen wurde.
Eine Rückwärtsrechnung beginnt beim Anteil, der wirklich bekannt ist. Bei 20 % Rabatt gehört der Restpreis zu 80 % des ursprünglichen Preises.
3. Warum 20 % hinzufügen hier nicht rückgängig macht
Fehlerversuch: 72 € + 20 % von 72 € = 72 € + 14,40 € = 86,40 €. Die Rechnung ist als Erhöhung von 72 € um 20 % richtig. Sie beantwortet aber eine andere Frage: Sie nimmt 72 € als neues Ganzes.
Beim ursprünglichen Rabatt waren dagegen 90 € die Bezugsgröße. 20 % davon sind 18 €, nicht 14,40 €. Prüfen Sie den Fehlerversuch rückwärts: 86,40 € × 0,8 = 69,12 €; das passt nicht zu den gegebenen 72 €.
- Korrektur
Den verbliebenen Anteil 80 % verwenden und durch 0,8 teilen. Rabatt und spätere prozentuale Erhöhung haben unterschiedliche Grundwerte.
- Vorwärts rechnen
Bei bekanntem Ausgangspreis zuerst den Rabatt als Anteil bestimmen oder unmittelbar mit dem Restfaktor rechnen. Beide Wege müssen denselben Restpreis liefern.
4. Prozent und Prozentpunkte beantworten andere Fragen
In einer fiktiven Umfrage steigt ein Anteil von 20 % auf 25 %. Die Differenz der beiden Prozentsätze beträgt 5 Prozentpunkte. Die relative Zunahme, bezogen auf den bisherigen Anteil 20 %, beträgt dagegen 5 / 20 = 0,25, also 25 %.
Damit sind „5 Prozentpunkte mehr“ und „25 % relative Zunahme“ zwei Beschreibungen derselben Veränderung mit unterschiedlichem Bezug. „5 % mehr“ wäre hier ungenau beziehungsweise eine andere Rechnung. Bei einem Ausgangsanteil von 0 % ist diese relative Änderungsrechnung nicht definiert.
5. Jetzt die gesuchte Größe wechseln
Markieren Sie in jeder Übung zuerst das Ganze und nennen Sie die Einheit. Schreiben Sie dann eine Beziehung auf. Alle Angaben sind eigene fiktive Übungsdaten.
Aus einer Sachaufgabe den passenden Ansatz entwickeln
Jetzt selbst versuchen
A) In einer Gruppe von 40 Schülern wählen 14 die Theater-AG. Wie viel Prozent sind das? B) Ein fiktiver Artikel kostet ursprünglich 120 €. Er wird um 15 % reduziert. Wie groß sind Rabatt und Restpreis? Begründen Sie jeweils die Bezugsgröße, bevor Sie die Lösung öffnen.
Lösung und Begründung ansehen
A) G = 40 Schüler, W = 14 Schüler. Gesucht ist p: 14 / 40 × 100 = 35 %. Probe: 40 × 0,35 = 14. Die Gruppe von 40, nicht die Theater-AG allein, bildet hier das Ganze.
B) G = 120 €, p = 15. Rabatt W = 120 × 15 / 100 = 18 €. Restpreis: 120 − 18 = 102 €. Probe: 120 × 0,85 = 102 €. Die Frage nach dem Rabatt und die Frage nach dem Restpreis verlangen unterschiedliche Prozentwerte.
Wenn Ihr Ergebnis nicht passt: Prüfen Sie zuerst die Zuordnung, dann den Faktor und erst danach die Rechnung. Ein richtiger Rechenschritt mit falschem Grundwert löst die Aufgabe nicht.
Kontrolle vor dem Abgeben
- Was sind in meiner Frage 100 %?
- Ist der gesuchte Betrag Anteil, Rest oder Ganzes?
- Habe ich die Prozentzahl durch 100 geteilt?
- Stimmen Einheit und Probe?
- Unterscheide ich Prozent und Prozentpunkte?
Häufige Lernfragen
Sind Grundwert und ursprünglicher Preis immer dasselbe?
Nein. Bei der Rabattaufgabe ist der Preis vor dem Rabatt der Grundwert. Bei einer Schülergruppe ist es die betrachtete Gesamtzahl. Der Grundwert ist immer das Ganze der konkreten Prozentfrage.
Warum teile ich bei 20 % Rabatt durch 0,8?
Der bekannte Restpreis entspricht 100 % − 20 % = 80 % des ursprünglichen Preises. Rückwärts wird deshalb durch den Restfaktor 0,8 geteilt, nicht durch 0,2.
Kann ein Prozentsatz größer als 100 % sein?
Ja. Ein Vergleichswert von 150 gegenüber einer Bezugsgröße von 100 entspricht 150 %. Bei einem Teil eines unveränderten Ganzen muss der Zusammenhang geprüft werden: Ein Teil kann nicht größer als dieses Ganze sein.
