Lernratgeber · Mathematik
Lineare Funktionen verstehen: Wie hängen Term, Tabelle und Graph zusammen?
Eine lineare Funktion ordnet jedem zulässigen x-Wert genau einen y-Wert zu: y = mx + b. m beschreibt die konstante Änderung pro x-Einheit, b den y-Wert bei x = 0. Term, Wertetabelle und Graph zeigen dieselbe Zuordnung auf verschiedene Weise.
Sie können Anfangswert und Änderungsrate auseinanderhalten, Punkte berechnen und einen Graphen mit passenden Einheiten zeichnen. Am fiktiven Tank prüfen Sie außerdem, für welchen Zeitraum das Modell überhaupt gilt.
1. Was m und b tatsächlich beschreiben
- Steigung m
Für zwei Punkte mit unterschiedlichen x-Werten gilt m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Gleiche x-Zuwächse führen zu gleichen y-Änderungen. Positive Steigung bedeutet steigend, negative fallend; m = 0 ergibt eine konstante Funktion.
- Achsenabschnitt b
Bei x = 0 ist y = b; der Punkt lautet (0|b), nicht (b|0). Wenn 0 außerhalb des betrachteten Bereichs liegt, bleibt b der rechnerische Achsenabschnitt der fortgesetzten Geraden, ohne automatisch einen beobachteten Anfangswert zu bezeichnen.
- Proportional?
In der üblichen Schulsprache heißen auch Funktionen mit b ≠ 0 linear. Proportionale Zuordnungen sind der Sonderfall b = 0: Ihr Graph geht durch den Ursprung. Ein von 0 verschiedener Anfangswert verhindert diese Proportionalität.
2. Eigener fiktiver Tank: Anfangsmenge und Zufluss
Ein Tank enthält zu Beginn 3 l. Pro Minute fließen konstant 2 l hinzu. Er fasst höchstens 15 l. Wir nehmen an, dass nichts abfließt und der Zufluss bis zum vollen Tank konstant bleibt. t ist die Zeit in Minuten, V(t) die enthaltene Menge in Litern.
Daraus folgt V(t) = 2t + 3 für 0 ≤ t ≤ 6. Ausführlich mit Einheiten: V(t) = (2 l/min) · t + 3 l. Die 2 ist keine Anfangsmenge, sondern eine Rate. Nach 6 min sind 15 l erreicht; ab dann wird der Zufluss gestoppt. Die ansteigende Formel wird danach nicht weiterverwendet.
| t in min | Rechnung | V(t) in l |
|---|---|---|
| 0 | 2 · 0 + 3 | 3 |
| 2 | 2 · 2 + 3 | 7 |
| 4 | 2 · 4 + 3 | 11 |
| 6 | 2 · 6 + 3 | 15 |
Eine Tabelle selbst kontrollieren
- Einsetzen
Die Eingabe t = 2 wird im Term eingesetzt: V(2) = 7 l. Im Koordinatensystem gehört dazu der Punkt (2|7). Zeit steht zuerst, Menge danach.
- Vergleichen
Von t = 2 bis t = 4 nimmt die Zeit um 2 min zu und die Menge um 4 l. 4 l / 2 min = 2 l/min bestätigt die Rate.
- Grenze prüfen
2t + 3 = 15 ergibt t = 6 min. Das ist die letzte Zeit im gewählten Füllmodell. V(8) = 19 l wäre zwar eine rechnerische Fortsetzung, aber keine zulässige Tankmenge in diesem Modell.
3. Den Graphen aus den Werten zeichnen
Beschriften Sie die waagerechte Achse mit t in min und die senkrechte mit V in l. Wählen Sie auf jeder Achse eine gleichmäßige Skala. Tragen Sie (0|3), (2|7), (4|11) und (6|15) ein. Verbinden Sie die Punkte im gültigen Zeitraum zu einem geraden Streckenstück.
Auch Zwischenwerte sind zulässig: Nach 1,5 min enthält der Tank 6 l. Der Graph beginnt bei 3 l und endet bei 15 l. Seine optische Neigung hängt von der Achsenskalierung ab; die Rate 2 l/min muss deshalb aus den beschrifteten Werten und nicht nur aus dem Eindruck steil abgelesen werden.
Eine senkrechte Gerade wie x = 2 ist nicht der Graph einer Funktion y = f(x): Zu demselben x gehörten mehrere y-Werte. Nicht jede im Koordinatensystem gezeichnete Gerade beschreibt also eine solche Zuordnung.
4. Anfangswert und Rate vertauscht
Fehlerversuch: V(t) = 3t + 2. Dieser Term beschreibt zu Beginn 2 l und danach einen Zufluss von 3 l/min. Er passt nicht zu den gegebenen 3 l und 2 l/min. Die Reihenfolge der Zahlen in einem Text entscheidet nicht über ihre Rolle im Term.
Korrektur: Prüfen Sie zuerst t = 0. Der konstante Summand muss 3 l ergeben. Prüfen Sie danach einen Zeitschritt: V(1) − V(0) muss 2 l sein. Beides erfüllt 2t + 3. Ein zufällig passender Einzelwert reicht nicht: Bei t = 1 liefern beide Terme 5, obwohl ihre Zuordnungen verschieden sind.
Eine Zielmenge durch eine begründete Gleichungsumformung bestimmen
5. Einen neuen Term aus zwei Messpunkten finden
Annahmen und Einheiten einer Sachaufgabe einordnen
Jetzt selbst versuchen
Ein zweiter fiktiver Tank fasst 13 l. Beim Beginn der Messung sind 4 l enthalten; nach 3 min sind es 8,5 l. Der Zufluss bleibt konstant, nichts fließt ab. Bestimmen Sie Rate, Term und zulässigen Füllzeitraum. Wie viel ist nach 2 min enthalten? Zeichnen Sie ein passendes Streckenstück.
Lösung und Begründung ansehen
Die Punkte sind (0|4) und (3|8,5). m = (8,5 − 4)/(3 − 0) = 4,5/3 = 1,5 l/min. Da t = 0 beobachtet wurde, beträgt b = 4 l. Der Term lautet V(t) = 1,5t + 4, wenn t in Minuten und V in Litern eingesetzt werden.
Kapazität: 1,5t + 4 = 13, also 1,5t = 9 und t = 6 min. Gültiger Füllzeitraum: 0 ≤ t ≤ 6. Nach 2 min: V(2) = 3 + 4 = 7 l. Probe der Messung: V(3) = 4,5 + 4 = 8,5 l.
Der Graph verbindet (0|4) und (6|13). (2|7) und (3|8,5) liegen auf dieser Strecke. Auch hier wird der Zufluss bei Erreichen der Kapazität gestoppt; die ansteigende Formel gilt dann nicht weiter.
Kontrolle vor dem Abgeben
- Welche Größe ist Eingabe, welche Ausgabe?
- Stimmen Rate und Einheit?
- Habe ich (0|b) richtig eingetragen?
- Liefern Term, Tabelle und Graph dieselben Werte?
- Ist meine Rechnung innerhalb des Modellbereichs?
Häufige Lernfragen
Was unterscheidet eine Funktion von einer Gleichung?
Eine Funktion beschreibt eine Zuordnung vieler Eingaben zu Ausgaben. Eine Gleichung wie 2t + 3 = 15 sucht dagegen die Eingabe für eine bestimmte Zielmenge. Gleichungslösen kann deshalb ein Arbeitsschritt beim Untersuchen einer Funktion sein.
Reichen zwei Punkte immer für eine lineare Funktion?
Wenn die x-Werte verschieden sind, bestimmen zwei Punkte genau eine Funktion der Form y = mx + b. Für reale Messdaten muss zusätzlich begründet werden, warum eine konstante Änderungsrate ein passendes Modell ist. Zwei Messwerte allein beweisen keine konstante Rate.
Warum darf ich das Tankmodell nicht beliebig fortsetzen?
Die Kapazität begrenzt die beschriebene Füllphase. Die Formel 2t + 3 bildet nur den angenommenen konstanten Zufluss bis zum vollen Tank ab. Ein anderes Verhalten danach benötigt eine eigene Beschreibung.
