Lernratgeber · Mathematik
Quadratische Funktionen verstehen – Parabeln, Scheitelpunkt und Nullstellen
Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0. Ihr Graph ist eine Parabel. In der Scheitelpunktform f(x) = a(x − h)² + k erkennen Sie den Scheitelpunkt S(h|k) direkt. Welche Form hilft, hängt davon ab, ob Sie den Graphen verstehen, einen Wert berechnen oder Nullstellen finden möchten.
Sie verbinden Funktionsgleichung, Werte und Graph. Im Parabel-Labor verändern Sie a, h und k einzeln; in eigenen Aufgaben begründen Sie Verschiebung, Öffnung und Nullstellen. Lösungen öffnen Sie erst zur Selbstkontrolle.
1. Quadratisch oder linear: Was verändert sich?
Eine Funktion ordnet jedem zugelassenen x genau einen Wert f(x) zu. Hier betrachten wir reelle Zahlen: D = ℝ. Bei ax² + bx + c ist der höchste tatsächlich vorhandene Exponent 2, wenn a ≠ 0. Bei a = 0 bleibt bx + c; das ist keine quadratische Funktion.
Eine lineare Funktion hat bei gleich großen x-Schritten eine konstante Änderung der y-Werte. Bei einer quadratischen Funktion ändert sich diese Rate. Gleiche zweite Differenzen in einer gleichmäßig abgestuften Tabelle passen zu einer quadratischen Zuordnung; einige Messwerte allein beweisen aber kein solches Modell.
- Konstante Änderung
Die linearen Werte steigen jeweils um 2. Der Graph ist eine Gerade.
- Änderung der Änderung
Bei x² sind die ersten Differenzen −3, −1, 1, 3. Deren Unterschiede betragen jeweils 2. Der Graph ist gekrümmt, kein gerades Verbindungsstück.
| x | g(x) = 2x + 1 | f(x) = x² |
|---|---|---|
| −2 | −3 | 4 |
| −1 | −1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 3 | 1 |
| 2 | 5 | 4 |
Anfangswert und konstante Änderungsrate bei linearen Funktionen verstehen
2. Wie aus x² eine Parabel entsteht
Für die Normalparabel f(x) = x² berechnen Sie zu jedem x das Quadrat. (−2)² und 2² ergeben beide 4. Die Punkte (−2|4) und (2|4) liegen daher gleich hoch. Auch alle Zwischenwerte gehören dazu, etwa (0,5|0,25). Der Graph ist eine glatte Kurve durch unendlich viele solche Punkte, kein Linienzug nur durch die Tabellenwerte.
Der kleinste Wert von x² ist 0 bei x = 0. S(0|0) ist der Scheitelpunkt, die Gerade x = 0 die Symmetrieachse. Links und rechts von dieser Achse liegen Punkte mit gleichem Abstand auf gleicher Höhe. Eine Parabel muss nicht durch den Ursprung gehen: Verschiebungen ändern ihre Lage.
3. Die Scheitelpunktform lesen: a, h und k
In f(x) = a(x − h)² + k wird zuerst der Abstand x − h gebildet, dann quadriert, mit a multipliziert und k addiert. Bei x = h verschwindet der Quadratanteil: f(h) = k. Deshalb liegt der Scheitel bei S(h|k), und die Symmetrieachse lautet x = h.
Für positives a öffnet sich die Parabel nach oben; k ist ihr kleinster Funktionswert. Für negatives a öffnet sie sich nach unten; k ist ihr größter Wert. Bei D = ℝ ist die Wertemenge entsprechend [k; ∞) oder (−∞; k]. Ein eingeschränkter Anwendungsbereich kann andere erreichbare Werte ergeben.
- a: Form
|a| größer als 1 streckt die y-Abstände vom Scheitel vertikal: Die Parabel wirkt schmaler. Bei |a| zwischen 0 und 1 werden diese Abstände gestaucht; sie wirkt breiter. Das gilt beim Vergleich mit gleicher Achsenskalierung. Ein negatives Vorzeichen spiegelt den Quadratanteil an der waagerechten Geraden y = k.
- h: Lage
Positives h verschiebt die Normalparabel nach rechts, negatives nach links. In (x + 2)² steckt h = −2, denn x + 2 = x − (−2). Die Klammer ist bei x = −2 gleich 0.
- k: Höhe
Positives k verschiebt nach oben, negatives nach unten. k ist die Scheitelhöhe, nicht automatisch der y-Achsenabschnitt. Dieser liegt bei x = 0 und hat den Wert ah² + k.
Jetzt selbst versuchen
Eigene Aufgabe 1: Lesen Sie bei f(x) = −2(x + 1)² + 3 den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse ab. Bestimmen Sie Öffnung, Streckung und den y-Achsenabschnitt. Begründen Sie Ihre Antworten.
Lösung und Begründung ansehen
x + 1 = x − (−1), also h = −1 und k = 3. S(−1|3), Symmetrieachse x = −1. Probe: f(−1) = −2 · 0² + 3 = 3.
a = −2: nach unten geöffnet; die vertikalen Abstände zur Scheitelhöhe sind gegenüber der Normalparabel verdoppelt. Bei x = 0 ist f(0) = −2 · 1² + 3 = 1, also y-Achsenabschnitt (0|1), nicht (0|3).
4. Parabel-Labor: erst vorhersagen, dann verändern
Die Ausgangsfunktion ist f(x) = (x − 1)² − 4. S(1|−4) liegt vier Einheiten unter der x-Achse. Prüfen Sie mit den Reglern nacheinander: Was verändert a? Was bleibt bei einer Änderung von h gleich? Was bewirkt k? Beide Achsen bleiben gleich skaliert; so verändert sich der Graph und nicht unbemerkt der Maßstab.
Der sichtbare Ausschnitt reicht auf beiden Achsen von −6 bis 6. Nicht sichtbare Kurventeile existieren trotzdem. Bei a = 0 zeigt das Labor ausdrücklich die konstante Funktion f(x) = k: Sie hat keinen eindeutigen Scheitelpunkt und keine ausgezeichnete senkrechte Symmetrieachse. Bei k = 0 ist dann jede reelle Zahl eine Nullstelle, sonst keine.
Parabel-Labor
f(x) = (x − 1)² − 4
Verändern Sie zunächst nur einen Regler. Was bleibt gleich, was wandert?
−2 bis 2; bei 0 entsteht eine konstante Funktion.
−3 bis 3; positives h verschiebt nach rechts.
−4 bis 4; positives k verschiebt nach oben.
S(1 | -4) · Symmetrieachse x = 1 · nach oben geöffnet
Zwei reelle Nullstellen: x₁ = −1, x₂ = 3.
- x = 0
- f(x) = -3
- x = 1
- f(x) = -4
- x = 2
- f(x) = -3
Tastatur: Regler mit Tab erreichen, mit Pfeiltasten ändern. Die beiden äußeren Tabellenwerte liegen gleich weit von h entfernt. Ohne JavaScript bleiben Ausgangsgraph und gesamte Erklärung lesbar.
Jetzt selbst versuchen
Eigene Aufgabe 2 im Labor: Eine nach unten geöffnete Parabel hat S(−1|2) und geht durch P(1|0). Bestimmen Sie a und die Scheitelpunktform, bevor Sie die Regler einstellen. Prüfen Sie anschließend P und den symmetrischen Punkt auf der anderen Seite.
Lösung und Begründung ansehen
Mit h = −1 und k = 2 gilt f(x) = a(x + 1)² + 2. P(1|0) einsetzen: 0 = a · 2² + 2. Also 4a = −2 und a = −0,5. Die Funktion lautet f(x) = −0,5(x + 1)² + 2.
Wählen Sie das Preset Nach unten oder stellen Sie a = −0,5, h = −1 und k = 2 ein. f(1) = 0; der spiegelbildliche x-Wert ist −3, ebenfalls mit f(−3) = 0. Beide liegen zwei Einheiten von der Achse x = −1 entfernt.
Ein Scheitel allein bestimmt a noch nicht. Ein zusätzlicher Punkt mit x ≠ h erlaubt a = (y − k)/(x − h)². Liegt der zusätzliche Punkt direkt auf der Symmetrieachse, liefert er entweder nur den Scheitel oder widerspricht den Angaben; durch 0 teilen ist nicht erlaubt.
5. Normalform und Scheitelpunktform verbinden
Beide Formen beschreiben dieselbe Funktion. Die Normalform ax² + bx + c zeigt den y-Achsenabschnitt c. Die Scheitelpunktform a(x − h)² + k zeigt den Scheitel. Ausmultiplizieren ergibt ax² − 2ahx + ah² + k, also b = −2ah und c = ah² + k.
Für a ≠ 0 lässt sich umgekehrt h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a) berechnen. Quadratische Ergänzung macht die Umwandlung nachvollziehbar. Das Vorzeichen von b allein entscheidet nicht, ob sich die Parabel nach oben oder unten öffnet; dafür ist a maßgeblich.
Eigener Lösungsweg: 2x² − 8x + 5
- Faktor ausklammern
Aus den ersten beiden Termen die 2 ausklammern; der konstante Term bleibt zunächst stehen.
f(x) = 2(x² − 4x) + 5
- Quadratisch ergänzen
(x − 2)² = x² − 4x + 4. Deshalb ersetzen wir x² − 4x durch (x − 2)² − 4, ohne den Wert zu verändern.
f(x) = 2[(x − 2)² − 4] + 5
- Zusammenfassen
Die ausgeklammerte 2 multipliziert auch −4. Somit ist der Scheitel S(2|−3).
f(x) = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3
- Unabhängig prüfen
Für x = 0 ergeben beide Formen 5. Vollständige Rückprobe durch Ausmultiplizieren: 2(x² − 4x + 4) − 3 = 2x² − 8x + 5.
Jetzt selbst versuchen
Eigene Aufgabe 3: Schreiben Sie f(x) = x² + 6x + 5 in Scheitelpunktform. Lesen Sie den Scheitel ab und prüfen Sie durch Ausmultiplizieren.
Lösung und Begründung ansehen
x² + 6x = (x + 3)² − 9. Also f(x) = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. h = −3, k = −4: S(−3|−4).
Rückprobe: (x + 3)² − 4 = x² + 6x + 9 − 4 = x² + 6x + 5. Der Scheitelwert ist f(−3) = 9 − 18 + 5 = −4.
6. Nullstellen: Wo trifft die Parabel die x-Achse?
Eine reelle Nullstelle ist ein x-Wert, für den f(x) = 0 gilt. Der zugehörige Punkt ist (x|0). In Scheitelpunktform folgt aus a(x − h)² + k = 0 zuerst (x − h)² = −k/a. Die Division ist zulässig, weil a ≠ 0. Ein reelles Quadrat ist nie negativ.
Ist −k/a positiv, entstehen zwei reelle Nullstellen h − √(−k/a) und h + √(−k/a). Bei −k/a = 0 gibt es genau einen verschiedenen Nullstellenwert h, eine doppelte Nullstelle: Die Parabel berührt die Achse. Ist −k/a negativ, gibt es keine reellen Nullstellen. Komplexe Lösungen sind nicht Gegenstand dieses schulischen Graphen.
- Normalform
Für ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 gilt x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a). Die Diskriminante Δ = b² − 4ac unterscheidet zwei (Δ positiv), einen doppelten (Δ = 0) oder keinen reellen Nullstellenwert (Δ negativ).
- Einsetzen statt nur ablesen
Bei (x − 1)² − 4 prüfen wir f(−1) = (−2)² − 4 = 0 und f(3) = 2² − 4 = 0. Die Mitte der Nullstellen ist 1 und stimmt mit der Symmetrieachse überein. Gerundete Graphwerte ersetzen diese Probe nicht.
| Funktion | Rechnung und reelle Nullstellen |
|---|---|
| (x − 1)² − 4 | (x − 1)² = 4 → x − 1 = ±2 → x = −1 oder x = 3. Zwei Schnittpunkte. |
| 2(x + 2)² | (x + 2)² = 0 → x = −2. Doppelte Nullstelle, ein Berührpunkt. |
| −(x − 1)² − 2 | (x − 1)² = −2. Keine reelle Lösung; der größte Wert ist bereits −2. |
Zulässige Umformungen und die Probe in der Ausgangsgleichung üben
Jetzt selbst versuchen
Eigene Aufgabe 4: Berechnen Sie die reellen Nullstellen von f(x) = 0,5(x − 2)² − 2. Prüfen Sie beide Lösungen. Zusatz: Wie ändert sich die Anzahl, wenn statt −2 der Summand +2 steht?
Lösung und Begründung ansehen
0 = 0,5(x − 2)² − 2. Auf beiden Seiten 2 addieren, durch 0,5 teilen: (x − 2)² = 4. Deshalb x − 2 = −2 oder x − 2 = 2; x₁ = 0, x₂ = 4.
Probe: f(0) = 0,5 · (−2)² − 2 = 0; f(4) = 0,5 · 2² − 2 = 0. Die Mitte 2 passt zur Symmetrieachse x = 2.
Mit +2 gilt (x − 2)² = −4. Es gibt keine reellen Nullstellen; die nach oben geöffnete Parabel hat ihren kleinsten Wert 2 und liegt vollständig über der x-Achse.
7. Drei Fehlerversuche – und was sie verändern
- Falsche Verschiebung
Fehlerversuch: (x + 3)² bedeutet drei nach rechts. Das ist falsch. Die Klammer wird bei x = −3 null: h = −3, also nach links. Bei x = 3 entsteht dagegen 36. Prüfen Sie die Null der Klammer statt nur das sichtbare Pluszeichen.
- Falsches Quadrat
Fehlerversuch: (x − 2)² = x² − 4. Die binomische Formel ergibt x² − 4x + 4. Für x = 0 liefert das Original 4, der falsche Term −4. Die fehlende Mitte −4x verändert die ganze Funktion.
- Nur eine Wurzel
Aus (x − 1)² = 4 nur x − 1 = 2 zu folgern, verliert eine Lösung. Auch −2 ergibt beim Quadrieren 4. Korrekt sind x = 3 und x = −1. √4 bezeichnet selbst nur die nichtnegative Zahl 2; das ± entsteht beim Lösen der Gleichung.
Kontrolle vor dem Abgeben
- Ist a von 0 verschieden?
- Welche Werte machen die Klammer null?
- Stimmen Scheitel und Symmetrieachse?
- Ist die Achsenskalierung gleich geblieben?
- Gibt es null, einen doppelten oder zwei reelle Nullstellenwerte?
- Erfüllt jede gefundene Nullstelle die ursprüngliche Funktion?
Häufige Lernfragen
Ist jede Parabel der Graph einer quadratischen Funktion?
Jede Funktion ax² + bx + c mit a ≠ 0 hat eine nach oben oder unten gerichtete Parabel als Graph. Eine seitlich geöffnete Parabel ist dagegen im Allgemeinen kein Graph einer Funktion y = f(x): Ein x-Wert kann zu zwei y-Werten gehören.
Ist der Scheitelpunkt eine Nullstelle?
Nur wenn seine Höhe k gleich 0 ist. Dann berührt die Parabel die x-Achse, und h ist eine doppelte Nullstelle. Bei k ≠ 0 liegt der Scheitel oberhalb oder unterhalb der Achse.
Was bedeutet eine negative Zahl vor dem Quadrat?
Für negatives a öffnet sich die Parabel nach unten. Zum Beispiel ist −x² = −(x²), während (−x)² = x² gilt. Klammern entscheiden, ob vor oder nach dem Quadrieren ein Minus angewendet wird.
Warum sehe ich im Labor manchmal nicht die ganze Parabel?
Das feste Fenster zeigt −6 bis 6 auf beiden Achsen. Es zoomt nicht bei jeder Änderung. Kurventeile und gegebenenfalls Nullstellen außerhalb bleiben mathematisch vorhanden; das Labor nennt außerhalb liegende reelle Nullstellen ausdrücklich.
Bestimmt ein Punkt die Funktionsgleichung?
Ein beliebiger Punkt reicht nicht. Auch ein Scheitel allein legt a nicht fest. Mit bekanntem Scheitel und einem weiteren Punkt außerhalb der Symmetrieachse können Sie a bestimmen. Ohne Scheitel bestimmen drei Punkte mit verschiedenen x-Werten ein Polynom vom Grad höchstens 2; liegen sie auf einer Geraden, entsteht keine echte quadratische Funktion.
